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√2cosθ-√2sinθ=1

0≦θ<2とします。  cosθ- sinθ=1の時、θの値を求めなさい。

準1級に出題された問題です。
私は、初め
(cosθ-sinθ)=1 
2(cosθ-sinθ)^2=1
2{(cosθ)^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2}=1
2(1-2sinθcosθ)=1
2-2sin2θ=1
sin 2θ=1/2 
sin 2θ= sin/6 又は sin 2θ= sin 5/6
θ=/12 , 5/12 と解答しましたが、答えは θ=/12, 17/12

sinの合成関数で取り組むと解答と合いました。何故かまだしっくりしませんが、はじめに2乗したところに
問題があるように感じます。わかりません。
数学検定は良い問題が多いですね。

追伸(追加)
その後いろいろ考え取り組みました。
(cosθ-sinθ)= -1 
にして、sinの合成関数で取り組むと間違えた解答と同じでした。 ということはやはりはじめに2乗したところに
問題があったようです。納得しました。わかると楽しいね。(笑い)





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解答の問題点

こんにちは。
答えは「θ=π, 17π/12」とありますが、
「θ=π/12, 17π/12」でしょうか?

余計なお節介かとは思いますが、上の解答の問題点を指摘させていただきます。

√2(cosθ-sinθ)=1 …①
2(cosθ-sinθ)^2=1 …②
2{(cosθ)^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2}=1 …③
2(1-2sinθcosθ)=1 …④
2-2sin2θ=1 …⑤
sin 2θ=1/2 …⑥
sin 2θ= sin π/6 又は sin 2θ= sin 5π/6 …⑦
θ=π/12 , 5π/12 …⑧

番号を付けさせていただきました。

まず、⑦は「又は」の前後でどちらも⑥と同じ式ですので、間違いではありませんが、「又は」を使って、わざわざ同じものを繰り返すのは変な感じがします。
「1/2=sin π/6=sin 5π/6なので、」といった説明を入れるなら、違和感は無いのですが…。

簡略化させるために、以下、⑦の代わりにsinを外した⑦’を入れているものとして、説明させていただきます。
2θ= π/6 , 5π/6 …⑦’

方程式の問題では、式を「同値(⇔)」の関係で結んでいく必要があります。
上の場合だと、
①→②⇔③⇔④⇔⑤⇔⑥←⑦’⇔⑧
という関係になっていて、①と②、⑥と⑦’の間にそれぞれ問題点があります。

一つ目の問題点は、仰る通り、2乗したことによるものです。
②が成立するときには、「 √2(cosθ-sinθ)=-1」の可能性もあるため、②→①が成立しません。

二つ目の問題点は、θの範囲によるものです。
0≦θ<2πなので、0≦2θ<4πとなります。
この範囲で考えると、2θはπ/6,5π/6だけでなく、π/6+2π,5π/6+2πも⑥の条件を満たし、⑦’は
2θ= π/6,5π/6,13π/6,17π/6
となり、
θ= π/12,5π/12,13π/12,17π/12
となります。

正解に無い「5π/12,13π/12」の2つは、①→②で条件を広げてしまった分の「√2(cosθ-sinθ)=-1」の答えになります。

恐らく、標準解答は「cos(θ+π/4)」もしくは「sin(θ-π/4)」の形で解いていると思いますが、この解答でもθ+π/4やθ-π/4の範囲を調べる必要があります。
問題によっては、範囲がズレている分、数値を2πずらすことになるので、その点にはご注意ください。

長々と失礼いたしました。

Re: 解答の問題点

> こんにちは。
> 答えは「θ=π, 17π/12」とありますが、
> 「θ=π/12, 17π/12」でしょうか?
>
> 余計なお節介かとは思いますが、上の解答の問題点を指摘させていただきます。
>
> √2(cosθ-sinθ)=1 …①
> 2(cosθ-sinθ)^2=1 …②
> 2{(cosθ)^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2}=1 …③
> 2(1-2sinθcosθ)=1 …④
> 2-2sin2θ=1 …⑤
> sin 2θ=1/2 …⑥
> sin 2θ= sin π/6 又は sin 2θ= sin 5π/6 …⑦
> θ=π/12 , 5π/12 …⑧
>
> 番号を付けさせていただきました。
>
> まず、⑦は「又は」の前後でどちらも⑥と同じ式ですので、間違いではありませんが、「又は」を使って、わざわざ同じものを繰り返すのは変な感じがします。
> 「1/2=sin π/6=sin 5π/6なので、」といった説明を入れるなら、違和感は無いのですが…。
>
> 簡略化させるために、以下、⑦の代わりにsinを外した⑦’を入れているものとして、説明させていただきます。
> 2θ= π/6 , 5π/6 …⑦’
>
> 方程式の問題では、式を「同値(⇔)」の関係で結んでいく必要があります。
> 上の場合だと、
> ①→②⇔③⇔④⇔⑤⇔⑥←⑦’⇔⑧
> という関係になっていて、①と②、⑥と⑦’の間にそれぞれ問題点があります。
>
> 一つ目の問題点は、仰る通り、2乗したことによるものです。
> ②が成立するときには、「 √2(cosθ-sinθ)=-1」の可能性もあるため、②→①が成立しません。
>
> 二つ目の問題点は、θの範囲によるものです。
> 0≦θ<2πなので、0≦2θ<4πとなります。
> この範囲で考えると、2θはπ/6,5π/6だけでなく、π/6+2π,5π/6+2πも⑥の条件を満たし、⑦’は
> 2θ= π/6,5π/6,13π/6,17π/6
> となり、
> θ= π/12,5π/12,13π/12,17π/12
> となります。
>
> 正解に無い「5π/12,13π/12」の2つは、①→②で条件を広げてしまった分の「√2(cosθ-sinθ)=-1」の答えになります。
>
> 恐らく、標準解答は「cos(θ+π/4)」もしくは「sin(θ-π/4)」の形で解いていると思いますが、この解答でもθ+π/4やθ-π/4の範囲を調べる必要があります。
> 問題によっては、範囲がズレている分、数値を2πずらすことになるので、その点にはご注意ください。
>
> 長々と失礼いたしました。

spaceplus様

ご丁寧なコメントありがとうございます。まず何よりも驚いたのは、spaceplus様からのコメントでした。
まさか漢字だけでなく数学にも精通されていることが驚きでした。この問題は、数学検定準1級の1次
試験の問題で、1次試験は標準解答のみで途中経過が記載されていないので苦労しています。さらに2次
は、途中経過が記載されていても理解できないことも多く苦労しています。しかし、漢字検定同様解れば
楽しいです。これからもよろしくお願いいたします。
プロフィール

octave007

Author:octave007
奈良県 男性
ペンネーム octave(数学のソフトウエア名より)
プロフィールの画像は、自分の名を古代文字でジーンズのバックポケットに刺繍してみました。気障かな。(笑)

〇漢字検定1級13回合格
〇数学検定2級合格
〇漢字教育サポーター養成講座 第1期受講認定、受講修了
〇平成25年6月6日 漢字教育士(立命館大学白川静記念東洋文字文化研究所認定)取得
〇奈良漢字おしゃべり会 会員
〇関西漢字教育サポーターの会 会員

※数学検定受検につき、漢字検定の受検はしばらくお休みします。

興味のあること

漢字検定 PC(ハードウエア、ソフトウエア) 数学

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