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√2cosθ-√2sinθ=1

0≦θ<2とします。  cosθ- sinθ=1の時、θの値を求めなさい。

準1級に出題された問題です。
私は、初め
(cosθ-sinθ)=1 
2(cosθ-sinθ)^2=1
2{(cosθ)^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2}=1
2(1-2sinθcosθ)=1
2-2sin2θ=1
sin 2θ=1/2 
sin 2θ= sin/6 又は sin 2θ= sin 5/6
θ=/12 , 5/12 と解答しましたが、答えは θ=/12, 17/12

sinの合成関数で取り組むと解答と合いました。何故かまだしっくりしませんが、はじめに2乗したところに
問題があるように感じます。わかりません。
数学検定は良い問題が多いですね。

追伸(追加)
その後いろいろ考え取り組みました。
(cosθ-sinθ)= -1 
にして、sinの合成関数で取り組むと間違えた解答と同じでした。 ということはやはりはじめに2乗したところに
問題があったようです。納得しました。わかると楽しいね。(笑い)





arctan (tan θ)=θ

数学検定の問題に取り組んでいたら、参考の欄に arctan (tan θ)=θの記載があった。色々考えて見ると、x=tan θと置くと
θ=arctan x になり、 これにx=tan θを代入すると、 θ= arctan (tan θ) になりました。
つまり要約すると、逆関数の逆関数は元の関数になるのか。
勉強になりました。

フェルマーの小定理(追加)

フェルマーの小定理などの定理は覚えにくい。ある書籍を見ていたら次のような記載があった。

自然数 nにたいしてn^2-nは2の倍数です。
理由は、n^2-n=n(n-1) は連続する2つの整数の積なので偶数です。

次に 自然数 nにたいして n^3-nは3の倍数です。
理由は n^3-n=(n-1)n(n+1) は連続する3つの整数の積です。
ということは、 n-1,n,n+1の中に3の倍数が1つだけあります。

同じようにn^5-nは5の倍数、n^7-nは7の倍数(証明略)、一般に
pが素数のとき、 n^p-nはpの倍数である。

これを合同式で記載すると、 n^p-n≡0 (mod p)
これから n^p≡ n (mod p)
nとpが互いに素数のとき、
両辺を nで割った式

      n^(p-1)≡1 (mod p)
がフェルマーの小定理です。

少しは連想して記憶に残りやすいね。

追伸 数学ネタは漢字ネタと違い一般受けしないのでイマイチですね(笑い)

数学検定を受検してきました。

昨日、数学検定準1級を受検してきました。会場は偶然にも漢字検定と同じ場所でした。漢字検定の時は、人で溢れかえっていたのに寂しい限りです。準1級と1級は同じ部屋で1級は3人、準1級は14人。私が一番の年配者でしょう。私以外は若い人ばかり。過去の年代別のデータを見ると私の年齢では受検者数の0.1パーセントです。(笑い) 結果ですがまだまだ練習不足ですね。学習方法は漢字検定の学習と通じるものがあります。少しずつですが、やり方が分かって来ています。漢字検定も受検しますが、数学検定の方に力を入れていますのでダメですね。

フェルマーの小定理

最近は整数問題の学習をしている。「フェルマーの小定理」というのが出てきた。

pを素数として、a,pが互いに素であるとき a^(p-1)≡1 (mod p) 証明省略

問題 5 ^ 6000 を 7 で割った余りを求めよ。
 
解答 フェルマーの小定理で p = 7, a = 5 とすれば
      5 ^ 6 ≡ 1 (mod 7)
が成り立つ。したがって
      5 ^6000 ≡ (5 ^6 )^1000 ≡ (1)^1000 ≡ 1
これから 
      5 ^ 6000 を 7 で割った余りは 1

  ※日常に直接役に立たないがおもしろそうだったので取り上げてみた。(笑い)
プロフィール

octave007

Author:octave007
奈良県 男性
ペンネーム octave(数学のソフトウエア名より)
プロフィールの画像は、自分の名を古代文字でジーンズのバックポケットに刺繍してみました。気障かな。(笑)

〇漢字検定1級13回合格
〇数学検定2級合格
〇漢字教育サポーター養成講座 第1期受講認定、受講修了
〇平成25年6月6日 漢字教育士(立命館大学白川静記念東洋文字文化研究所認定)取得
〇奈良漢字おしゃべり会 会員
〇関西漢字教育サポーターの会 会員

※数学検定受検につき、漢字検定の受検はしばらくお休みします。

興味のあること

漢字検定 PC(ハードウエア、ソフトウエア) 数学

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