０≦θ＜２
とします。
cosθ-
sinθ＝１の時、θの値を求めなさい。
準１級に出題された問題です。
私は、初め
（cosθ-sinθ）=1
２（cosθ-sinθ）＾２=1
2｛（cosθ）^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2｝＝１
２（１-2sinθcosθ)=1
2-2sin2θ＝１
sin 2θ＝1/２
sin 2θ= sin
/６ 又は sin 2θ= sin ５
/６
θ＝
/１２ ， ５
/１２ と解答しましたが、答えは θ＝
/12， １７
/１２
sinの合成関数で取り組むと解答と合いました。何故かまだしっくりしませんが、はじめに２乗したところに
問題があるように感じます。わかりません。
数学検定は良い問題が多いですね。
追伸（追加）
その後いろいろ考え取り組みました。
（cosθ-sinθ）= -1
にして、sinの合成関数で取り組むと間違えた解答と同じでした。 ということはやはりはじめに２乗したところに
問題があったようです。納得しました。わかると楽しいね。（笑い）
こんにちは。
答えは「θ＝π， １７π/１２」とありますが、
「θ＝π/１２， １７π/１２」でしょうか？
余計なお節介かとは思いますが、上の解答の問題点を指摘させていただきます。
√2（cosθ-sinθ）=1 …①
２（cosθ-sinθ）＾２=1 …②
2｛（cosθ）^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2｝＝１ …③
２（１-2sinθcosθ)=1 …④
2-2sin2θ＝１ …⑤
sin 2θ＝1/２ …⑥
sin 2θ= sin π/６ 又は sin 2θ= sin ５π/６ …⑦
θ＝π/１２ ， ５π/１２ …⑧
番号を付けさせていただきました。
まず、⑦は「又は」の前後でどちらも⑥と同じ式ですので、間違いではありませんが、「又は」を使って、わざわざ同じものを繰り返すのは変な感じがします。
「1/２＝sin π/６＝sin ５π/６なので、」といった説明を入れるなら、違和感は無いのですが…。
簡略化させるために、以下、⑦の代わりにsinを外した⑦’を入れているものとして、説明させていただきます。
2θ= π/６ ， ５π/６ …⑦’
方程式の問題では、式を「同値（⇔）」の関係で結んでいく必要があります。
上の場合だと、
①→②⇔③⇔④⇔⑤⇔⑥←⑦’⇔⑧
という関係になっていて、①と②、⑥と⑦’の間にそれぞれ問題点があります。
一つ目の問題点は、仰る通り、２乗したことによるものです。
②が成立するときには、「 √2（cosθ-sinθ）=-1」の可能性もあるため、②→①が成立しません。
二つ目の問題点は、θの範囲によるものです。
０≦θ＜２πなので、０≦２θ＜４πとなります。
この範囲で考えると、２θはπ/６，５π/６だけでなく、π/６＋２π，５π/６＋２πも⑥の条件を満たし、⑦’は
2θ= π/６，５π/６，１３π/６，１７π/６
となり、
θ＝ π/１２，５π/１２，１３π/１２，１７π/１２
となります。
正解に無い「５π/１２，１３π/１２」の２つは、①→②で条件を広げてしまった分の「√2（cosθ-sinθ）=-1」の答えになります。
恐らく、標準解答は「cos(θ＋π/４)」もしくは「sin(θ-π/４)」の形で解いていると思いますが、この解答でもθ＋π/４やθ-π/４の範囲を調べる必要があります。
問題によっては、範囲がズレている分、数値を２πずらすことになるので、その点にはご注意ください。
長々と失礼いたしました。
> こんにちは。
> 答えは「θ＝π， １７π/１２」とありますが、
> 「θ＝π/１２， １７π/１２」でしょうか？
>
> 余計なお節介かとは思いますが、上の解答の問題点を指摘させていただきます。
>
> √2（cosθ-sinθ）=1 …①
> ２（cosθ-sinθ）＾２=1 …②
> 2｛（cosθ）^2 -2sinθcosθ+ (sinθ)^2｝＝１ …③
> ２（１-2sinθcosθ)=1 …④
> 2-2sin2θ＝１ …⑤
> sin 2θ＝1/２ …⑥
> sin 2θ= sin π/６ 又は sin 2θ= sin ５π/６ …⑦
> θ＝π/１２ ， ５π/１２ …⑧
>
> 番号を付けさせていただきました。
>
> まず、⑦は「又は」の前後でどちらも⑥と同じ式ですので、間違いではありませんが、「又は」を使って、わざわざ同じものを繰り返すのは変な感じがします。
> 「1/２＝sin π/６＝sin ５π/６なので、」といった説明を入れるなら、違和感は無いのですが…。
>
> 簡略化させるために、以下、⑦の代わりにsinを外した⑦’を入れているものとして、説明させていただきます。
> 2θ= π/６ ， ５π/６ …⑦’
>
> 方程式の問題では、式を「同値（⇔）」の関係で結んでいく必要があります。
> 上の場合だと、
> ①→②⇔③⇔④⇔⑤⇔⑥←⑦’⇔⑧
> という関係になっていて、①と②、⑥と⑦’の間にそれぞれ問題点があります。
>
> 一つ目の問題点は、仰る通り、２乗したことによるものです。
> ②が成立するときには、「 √2（cosθ-sinθ）=-1」の可能性もあるため、②→①が成立しません。
>
> 二つ目の問題点は、θの範囲によるものです。
> ０≦θ＜２πなので、０≦２θ＜４πとなります。
> この範囲で考えると、２θはπ/６，５π/６だけでなく、π/６＋２π，５π/６＋２πも⑥の条件を満たし、⑦’は
> 2θ= π/６，５π/６，１３π/６，１７π/６
> となり、
> θ＝ π/１２，５π/１２，１３π/１２，１７π/１２
> となります。
>
> 正解に無い「５π/１２，１３π/１２」の２つは、①→②で条件を広げてしまった分の「√2（cosθ-sinθ）=-1」の答えになります。
>
> 恐らく、標準解答は「cos(θ＋π/４)」もしくは「sin(θ-π/４)」の形で解いていると思いますが、この解答でもθ＋π/４やθ-π/４の範囲を調べる必要があります。
> 問題によっては、範囲がズレている分、数値を２πずらすことになるので、その点にはご注意ください。
>
> 長々と失礼いたしました。
spaceplus様
ご丁寧なコメントありがとうございます。まず何よりも驚いたのは、spaceplus様からのコメントでした。
まさか漢字だけでなく数学にも精通されていることが驚きでした。この問題は、数学検定準１級の１次
試験の問題で、１次試験は標準解答のみで途中経過が記載されていないので苦労しています。さらに２次
は、途中経過が記載されていても理解できないことも多く苦労しています。しかし、漢字検定同様解れば
楽しいです。これからもよろしくお願いいたします。
